С 1998 года и до последних дней он вел передачу "Жди меня" на "Первом канале".
Игорь Кваша родился в Москве в 1933 году. В 1955 году он окончил Школу-студию МХАТ и стал играть в театре. С 1957 года Кваша работал в "Современнике", одним из основателей которого был он сам.
С 1961 года Кваша играл в кино. В частности, он исполнил роль бургомистра в "Том самом Мюнхгаузене", пастора в "Человеке с бульвара Капуцинов" и жреца в "Сердцах трех". Всего его фильмография насчитывает более 50 наименований. Помимо театра, кино и телевидения, с 1970 года Кваша работал на радио.
В 1978 году Кваша получил звание народного артиста РСФСР. В 2006 году он был награжден орденом "За заслуги перед Отечеством" III степени, а в 2008 году - благодарностью президента РФ.
Кваша также известен как болельщик футбольного клуба "Спартак".
В 2011 году актер выступил с критикой действующей власти, призвав выйти 24 декабря на митинг за честные выборы. В своем обращении Кваша отметил, что из-за тяжелой болезни сам выйти на митинг он не сможет.